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Chapitre 8 :
Continuité et dérivabilité des fonctions définies sur `RR^2`

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Continuité et dérivabilité des fonctions définies sur `RR^2`
I

Fonctions continues sur `RR^2`

Définition : Distance euclidienne

Soient `A(x_A, y_A)` et `B(x_B, y_B)` deux points dans `RR^2`. On appelle distance euclidienne de `A` à `B` le réel :

`d(A,B)=sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)`

Définition : Continuité d'une fonction définie sur `RR^2` et à valeurs dans `RR`

Une fonction `f` définies sur `RR^2` est continue en un point `(x_0,y_0)` de `RR^2` si :

`AAepsilon>0, EEr>0, AA(x,y)inRR^2`, `d((x,y)(x_0,y_0))<r => |f(x,y)-f(x_0,y_0)|<epsilon`.

Théorème : Opérations sur les fonctions continues

Sont continues sur `RR^2` :

  • La somme de deux fonctions continues sur `RR^2`

  • Le produit de deux fonctions continues sur `RR^2`

  • Le quotient (si défini) de deux fonctions continues sur `RR^2`

  • Les fonctions polynomiales définies sur `RR^2`

Par ailleurs, si `f` est une fonction continue sur `RR^2` et si une fonction `g` est définie et continue sur `f(RR^2)subRR` alors la fonction `g@f` est continue sur `RR^2`.

II

Calcul différentiel pour les fonctions définies sur `RR^2`

Définition : Dérivée partielle d'ordre 1

Soit `f` une fonction définie sur `UsubRR^2`.

`f` admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à `x` si l'application partielle `f_x(t)->f(t,y_0)` est dérivable en `x_0`. Alors :

  • `lim_(x->x_0)(f(x,y_0)-f(x_0,y_0))/(x-x_0)` existe et est finie

  • On la note alors `(deltaf)/(deltax)(x_0,y_0)`

`f` admet une dérivée partielle d'ordre 1 par rapport à `y` si l'application partielle `f_y(t)->f(x_0,t)` est dérivable en `y_0`. Alors :

  • `lim_(y->y_0)(f(x_0,y)-f(x_0,y_0))/(y-y_0)` existe et est finie

  • On la note alors `(deltaf)/(deltay)(x_0,y_0)`

Définition : Fonction de classe `C^1`

Une fonction `f` définie sur `UsubRR^2` est dite de classe `C^1` sur `U` si `(deltaf)/(deltax)` et `(deltaf)/(deltay)` sont continues sur `U`.

`f` est alors continue sur `U`.

Théorème : Opération sur les fonctions de classe `C^1`

Sont de classe `C^1` sur `RR^2` :

  • La somme de deux fonctions de classe `C^1` sur `RR^2`

  • Le produit de deux fonctions de classe `C^1` sur `RR^2`

  • Le quotient (si défini) de deux fonctions de classe `C^1` sur `RR^2`

Par ailleurs, si `f` est une fonction de classe `C^1` sur `RR^2` et si une fonction `g` est définie et de classe `C^1` sur `f(RR^2)subRR` alors la fonction `g@f` est de classe `C^1` sur `RR^2`.

Définition : Gradient

Soient `f`une fonction de classe `C^1` sur `UsubRR^2`. On appelle gradient de `f` au point `(x_0,y_0)inU^2` :

`grad(f)(x_0,y_0)=((delta_1(f)(x_0,y_0)),(delta_2(f)(x_0,y_0)))`

Définition : Dérivées partielles d'ordre 2

Soit `f` une fonction de classe `C^1` sur `UsubRR^2`. Si les dérivées partielles de `f` admettent elles-mêmes des dérivées partielles, alors on dit que `f` admet des dérivées partielles d'ordre 2 notées :

  • `(delta^2f)/(deltax^2)=(delta)/(deltax)((deltaf)/(deltax))`

  • `(delta^2f)/(deltay^2)=(delta)/(deltay)((deltaf)/(deltay))`

  • `(delta^2f)/(deltaxdeltay)=(delta)/(deltax)((deltaf)/(deltay))`

  • `(delta^2f)/(deltaxdeltay)=(delta)/(deltay)((deltaf)/(deltax))`

Définition : Fonctions de classe `C^2`

On sit que `f` est de classe `C^2` sur `U` si `f` est de classe `C^1` et si ses dérivées partielles d'ordre 1 sont aussi de classe `C^1`.

Une fonction de classe `C^2` est de classe `C^1`.

Théorème : Opération sur les fonctions de classe `C^2`

Sont de classe `C^2` sur `RR^2`

  • La somme de deux fonctions de classe `C^2` sur `RR^2`

  • Le produit de deux fonctions de classe `C^2` sur `RR^2`

  • Le quotient (si défini) de deux fonctions de classe `C^2` sur `RR^2`

Par ailleurs, si `f` est une fonction de classe `C^2` sur `RR^2` et si une fonction `g` est définie et de classe `C^2` sur `f(RR^2)subRR` alors la fonction `g@f` est de classe `C^2` sur `RR^2`.

Théorème : Théorème de Schwartz

Soit `f` une fonction de classe `C^2` sur `UsubRR^2`. Alors :

`(delta^2f)/(deltaxdeltay)=(delta^2f)/(deltaydeltax)`

Définition : Hessienne

Soit `f`une fonction de classe `C^2` sur `UsubRR^2`. On appelle hessienne de `f` au point `(x,y)inU^2` :

`Delta^2(f)(x,y)=(((delta^2(f))/(deltax^2)(x,y),(delta^2(f))/(deltaxdeltay)(x,y)),((delta^2)/(deltaydeltax)(x,y),(delta^2)/(deltay^2)(x,y)))`

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