Menu
  1. Toutes les matières
  2. Maths
  3. Prépa HEC

Chapitre 9 :
Extrema d'une fonction de deux variables réels

< Chapitre précédent : Continuité et dérivabilité des fonctions définies sur #RR^2#
Extrema d'une fonction de deux variables réels
Définition : Boule ouverte, boule fermée

Soit `r` un réel, `r>0` et `A(x_A,y_A)inRR^2`. On appelle :

  • Boule ouverte de centre `A` et de rayon `r` : `B_o(A,r)={X in RR^2, |d(X,A)<r}`

  • Boule fermée de centre `A` et de rayon `r` : `B_f(A,r)={X in RR^2, |d(X,A)<=r}`

Définition : Partie ouverte, partie fermée

Une partie de `UsubRR^2` est :

  • Ouverte si `AAX in U`, `EEr>0`, tel que `B_o(X,r)subU`

  • Fermée si son complémentaire est une partie ouverte

Définition : Partie bornée

Une partie `U` de `RR^2` est bornée s'il existe `r>0` tel que `U` est inclus dans la boule fermée de centre `O(0,0)` et de rayon `r`.

Définition : Minimum et maximum locaux

Soit `f` une fonction définie sur un ouvert `U` de `RR^2`.

  • `f` admet un minimum local en `(x_0,y_0)` s'il existe `r>0` tel que : `AA(x,y)inB^2((x_0,y_0),r)nnU`, `f(x,y)>=f(x_0,y_0)`

  • `f` admet un maximum local en `(x_0,y_0)` s'il existe `r>0` tel que : `AA(x,y)inB^2((x_0,y_0),r)nnU`, `f(x,y)<=f(x_0,y_0)`

Définition : Minimum et maximum globaux

Soit `f`une fonction définie sur un ouvert `U` de `RR^2`.

  • `f` admet un minimum global en `m in U` si `AAX in U`, `f(X)>=f(m)`

  • `f` admet un maximum global en `MinU` si `AAX in U`, `f(X)<f(M)`

Théorème : Fonction continue sur une partie bornée et fermée

Une fonction continue sur une partie bornée et fermée de `RR^2` est bornée et atteint ses bornes.

Théorème : Extremum local et dérivées partielles

Soit `f` une fonction de classe `C^1` sur un ouvert `UsubRR^2`. Si `f` admet un extremum local en `(x_0,y_0)inU^2`, alors `grad(f)(x_o,y_0)=0`.

Définition : Point critique

Soit `f` une fonction de classe `C^1` sur un ouvert `UsubRR^2`. `f` admet un point critique en `(x_0,y_0)` si ces deux conditions sont réunies :

  • `(deltaf)/(deltax)(x_0,y_0)=0`

  • `(deltaf)/(deltay)(x_0,y_0)=0`

Théorème : Critère d'existence d'un maximum ou minimum local

Soit `f` une fonction de classe `C^1` sur un ouvert `UsubRR^2`.

`f` admet un minimum local en `(x_0,y_0)` si :

  • `(x_o, y_o)inU^2` est un point critique de `f`

  • Les valeurs propres de la hessienne de `f` au point `(x_0,y_0)` sont strictement positives

`f` admet un maximum local en `(x_0,y_0)` si :

  • `(x_o, y_o)inU^2` est un point critique de `f`

  • Les valeurs propres de la hessienne de `f` au point `(x_0,y_0)` sont strictement négatives

Définition : Point selle

Soit `f` une fonction de classe `C^1` sur un ouvert `UsubRR^2`. `f` n'admet pas d'extremum local en `(x_0,y_0)` si :

  • `(x_o, y_o)inU^2` est un point critique de `f`
  • Les valeurs propres de la hessienne de `f` au point `(x_0,y_0)` sont non nulles et de signes opposées

`(x_0,y_0)` est appelé point selle de `f`.

Chapitre suivant : Compléments sur les variables aléatoires réelles quelconques >