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Chapitre 10 :
Compléments sur les variables aléatoires réelles quelconques

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Compléments sur les variables aléatoires réelles quelconques
Définition : Indépendance

Deux variables aléatoires réelles `X` et `Y` sont indépendantes si pour tout intervalles réels `I` et `J` :

`P(X in I nn Y in J)=P(X in I)P(Y in J)`

Définition : Indépendance mutuelle

Soit `JinNN`, on dit que les variables aléatoires réelles `(X_i)_(iinI)` sont mutuellement indépendantes si pour toute suite d'événements `[X_i=I_i]_iinJ` tels que `AAiinJ`, `I_i` est un intervalle réel :

`nn_(iinJ)P(X in I_i)=prod_(iinJ)P([X_iinI_i])`

Théorème : Lemme des coalitions

Soient `(X_i)_(iin[1,n])`, `i` entier une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et `p in NN`, `p<n`.

Alors tout variable fonction de `X_1, X_2, ..., X_p` est indépendante de toute variable aléatoire fonction de `X_(p+1), ..., X_n`.

Théorème : Espérance d'une somme de variables aléatoires réelles

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles admettant une espérance. Alors :

  • `X+Y` admet une espérance

  • `E(X+Y)=E(X)+E(Y)`

De manière générale, soit `(X_i)_(iin[1,n])`, `i` entier une suite de variables aléatoires réelles indépendantes admettant une espérance. Alors :

  • La variable `sum_(i=1)^nX_i` admet une espérance

  • `E(sum_(i=1)^nX_i)=sum_(i=1)^nE(X_i)`

Théorème : Espérance et comparaison

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles admettant une espérance. Si `P(X<=Y)=1`, alors `E(X)<=E(Y)`.

Théorème : Espérance de produit de variables aléatoires réelles

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles indépendantes admettant une espérance. Alors :

  • `XY` admet une espérance

  • `E(XY)=E(X)*E(Y)`

De manière générale, soit `(X_i)_(iin[1,n])`, `i` entier une suite de variables aléatoires réelles indépendantes admettant une espérance. Alors :

  • La variable `prod_(i=1)^nX_i` admet une espérance

  • `E(prod_(i=1)^nX_i)=prod_(i=1)^nE(X_i)`

Théorème : Variance de produit de variables aléatoires réelles

Soient `X` et `Y` deux variables aléatoires réelles indépendantes admettant un moment d'ordre 2. Alors :

  • `X+Y` admet une variance

  • `V(X+Y)=V(X)+V(Y)`

De manière générale, soit `(X_i)_(iin[1,n])`, `i` entier une suite de variables aléatoires réelles indépendantes admettant une un moment d'ordre 2. Alors :

  • La variable `sum_(i=1)^nX_i` admet une variance

  • `V(sum_(i=1)^nX_i)=sum_(i=1)^nV(X_i)`

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