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Chapitre 11 :
Compléments sur les variables aléatoires à densité

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Compléments sur les variables aléatoires à densité
I

Régularité des fonctions de répartition

Théorème : Régularité des fonctions de répartition

Si une fonction `f` est une densité de probabilité, alors

  • La fonction `F(x)=int_(-oo)^xf(t)dt` est de classe `C^1` en tout point `x_0``f` est continue

  • On a `f(x_0)=F'(x_0)`

De manière générale, si `f` est continue à droite (respectivement à gauche) en un point `x_0`, `F` est dérivable à droite (respectivement à gauche) en `x_0`.

II

Exemples simples de transferts

Exemple

Soient `a` et `b` deux réels, `a` non nul, `X` une variable à densité et `Y=aX+b`.

  • si a<0, `AAx in RR`, `F_G(x)=F_X((x-b)/a)`

  • si a>0, `AAx in RR`, `F_G(x)=1-F((x-b)/a)`

Exemple

Soit `X` une variable à densité et `Z=e^X`.

  • Si `x<=0`, `F_Z(x)=0`

  • Si `x>0`, `F_Z(x)=F_X(ln(x))`

Exemple

Soit `X` une variable à densité et `W=Z^2`.

  • Si `x<0`, `F_W(x)=0`

  • Si `x>=0`, `F_W(x)=F_X(sqrt(x))-F_X(-sqrt(x))`

Exemple

Si une variable à densité `Y` suit la loi uniforme sur `[0,1[`, la variable `X=-1/(lambda)ln(1-Y)` suit la loi exponentielle de paramètre `lambda`.

III

Compléments sur les lois usuelles

Théorème : Transformations affines

Soient `a` et `b` deux réels avec `a<b`

  • `X->U[0,1]` `iff` `aX+b->U[a,b]`

  • i `a!=0`, `X->N(m,sigma^2)` `iff` `aX+b->N(am+b,a^2sigma^2)`

Théorème : Propriété de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite

On se souvient que `Phi` est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

`AAx in RR`, `Phi(-x)=1-Phi(x)`

Théorème : Somme de lois normales

Une somme de variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales suit une loi normale.

IV

Moments d'une variable aléatoire à densité

Théorème : Théorème de transfert

Soient `(a,b)inbar(RR)^2`, si :

  • `X` est une variable aléatoire à densité admettant une densité `f` non nulle en dehors d'un intervalle `]a,b[`

  • `g` est une fonction continue sauf éventuellement en un nombre fini de points sur `]a,b[`

Alors : `g(X)` admet une espérance `iff` l'intégrale `int_a^bg(t)f(t)dt` converge absolument.

Dans ce cas : `E(g(X))=int_a^bg(t)f(t)dt`

Définition : Moment d'ordre `r`

Soit `rinNN`, `r>0`. On dit qu'une variable aléatoire `X` admettant une densité `f` admet un moment d'ordre `r` si l'intégrale `int_(-oo)^(+oo)x^rf(t)dt` converge. On a alors :

`m_r(X)=E(X^r)=int_(-oo)^(+oo)x^rf(t)dt`

Définition : Variance

La variable à densité `X` admet une variance si la variable `E((X_E(X))^2)` admet une espérance et on note alors :

`V(X)=E((X-E(X))^2)`

Théorème : Existence de la variance

`X` admet une variance `iff` `X` admet un moment d'ordre 2

On a alors: `V(X)=E(X^2)-E^2(X)`

Définition : Écart-type

Si la variable à densité `X` admet une variance, on appelle écart-type le nombre `sigma(X)=sqrt(V(X))`.

Définition : Variable aléatoire centrée et variable aléatoire réduite

Soit `X` une variable aléatoire à densité :

  • Si `E(X)=0`, on dit que `X` est centrée

  • Si `V(X)=1`, on dit que `X` est réduite

Théorème : Variances classiques
  • Si `X` suit la loi uniforme sur l'intervalle `[a,b]`, `V(X)=(b-a)^2/12`

  • Si `X` suit une loi exponentielle de paramètre `lambda`, `V(X)=lambda`

  • Si `X` suit une loi normale de paramètres `(m, sigma^2)`, alors `V(X)=sigma^2`

Chapitre suivant : Convergences et approximations >