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Chapitre 12 :
Convergences et approximations

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Convergences et approximations
I

Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Théorème : Inégalité de Markov

Soit `X` une variable aléatoire à valeurs positives admettant une espérance. Alors :

`AAa>0`, `P(X>=a)<=(E(X))/a`

Théorème : Inégalité de Byenaimé-Tchebychev

Soit `X` une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2. Alors :

`AAepsilon>0`, `P(|X-E(X)|>=epsilon)<=(V(X))/epsilon^2`

II

Loi faible des grands nombres

Théorème : Loi faible des grands nombres

Soit :

  • `(X_n)_(ninNN^**)` une suite de variables aléatoires indépendantes de même espérance `m` et de même variance.

  • `AAninNN^**`, `bar(X)_n=(sum_(i=1)^nX_i)/n`

Alors, `AAepsilon>0`, `lim_(n->+oo)P(|bar(X)_n-m|>=epsilon)=0`

III

Convergence en loi

Définition : Convergence en loi

On dit qu'une suite `(X_n)_(ninNN^**)` de variables aléatoires converge en loi vers `X` si pour tout réel `x``F_X` est continue :

`lim_(n->+oo)F_(X_n)(x)=F_X(x)`

On note alors `(X_n)""_(->)^L X`

Théorème : Caractérisation

La suite de variables aléatoires `(X_n)_(ninNN^**)` converge en loi vers `X` si et seulement si `kinZZ`, `lim_(n->+oo)P(X_n=k)=P(X=k)`.

Exemple

Exemple classique

Une suite de variable aléatoires suivant la loi binomiale de paramètres `(n,lambda/n)` converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre `lambda`.

Théorème : Convergence vers une loi normale centrée réduite

On considère :

  • `(X_n)_(ninNN^**)` est une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi et admettant une variable `sigma^2` non nulle.

  • `bar(X)_n=(sum_i^nX_i)/n` avec `ninNN^**`

Alors, on en déduit :

  • `AAninNN^**` `bar(X)_n^**=sqrt(n)((bar(X)_n-m)/sigma)` converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

  • `AA(a,b)inbar(R)^2`, `lim_(n->+oo)P(a<=bar(X)_n^**<=b)=int_a^b1/(sqrt(2pi))exp(-t^2/2)dt`

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