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Chapitre 2 :
Ensembles, parties d'un ensemble et applications

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Ensembles, parties d'un ensemble et applications
I

Ensembles et parties d'un ensemble

Définition : Ensemble de nombres

On appelle :

  • `N` l'ensemble de nombres naturels c'est-à-dire `N={0,1,2...}`.

  • `Z` l'ensemble des nombres relatifs, c'est-à-dire des entiers naturels ainsi que leurs opposés.

  • `Q` l'ensemble des nombres rationnels. Il est l'ensemble des nombre pouvant s'écrire comme le quotient d'un entier relatif et d'un entier naturel non nul.

  • `R` l'ensemble des nombres réels.

Définition : Sous-ensembles

Soient `A` et `B` deux ensembles. `A` est un sous-ensemble ou une partie de `B` si : `AAx in A`, `x in B`.

Définition : Notations ensemblistes

Soient `E` un ensemble, `A` et `B`, deux sous-ensembles de `E` et `x` un élément de `E`. On note :

  • `x inA` signifie que l'élément `x` appartient à `A`.

  • `x!inA` signifie que l'élément `x` n'appartient pas à `A`.

  • `AsubB` signifie que `A` est inclus (contenu) ou égal à `B`.

  • `AsubeB` signifie que `A` est strictement inclus dans `B`.

Définition : Intersection, union et complémentaire

Soient `A` et `B` deux sous-ensembles d'un ensemble `E`.

  • L'intersection de `A` et `B`, notée `AnnB`, désigne l'ensemble des éléments `x` de `E` tels que `x in A` et `x in B`

  • L'union de `A` et `B`, notée `AuuB`, désigne l'ensemble des éléments `x` de `E` tels que `x in A` ou `x in B`

  • Le complémentaire de `A` dans `E`, noté `barA`, désigne l'ensemble des éléments `x` de `E` tels que `x!inA`.

Définition : Ensemble vide

L'ensemble noté `O/` est appelé ensemble vide et n'est constitué d'aucun élément.

Théorème : Lois de Morgan

Soient `A` et `B` de sous-ensembles d'un ensemble `E`. Alors :

  • `bar(AuuB)=barAnnbarB`

  • `bar(AnnB)=barAuubarB`

Définition : Distributivité

Soit `E`un ensemble, `B` une sous-partie de `E` et `(A_i)_(iinI)` une famille de partie de `E`.

Alors :

`(uu_[i in I]A_i) nn B = uu_[i in I](A_i nn B)`

Remarque

Notation : produit cartésien

Pour signifier que des éléments `x_1`, `x_2`,..., `x_n` appartiennent à un même ensemble `E`, on note :

`(x_1, x_2, ..., x_n)inExxExx...xxE=E^n`.

II

Applications

Définition : Application

Soient `A` et `B` deux ensembles.

On appelle application de `A` vers `B` une fonction définie sur `A` telle que tout élément de `A` possède une unique image dans `B`.

Définition : Définition: injectivité, surjectivité, bijectivité

Soit `f` une application de `A` vers `B`. Elle est dite :

  • Injective si tout élément de `B` a au plus un antécédent dans `A` par `f`

  • Surjective si tout élément de `B` a au moins un antécédent dans `A` par `f`

  • Bijective si `f` est surjective et injective. Dans ce cas, tout élément de `B` a un unique antécédent dans `A`.

Définition : Application réciproque

Soit `f` une application bijective sur un intervalle `A` dans un intervalle ` B`. Alors on appelle application réciproque et on note `f^-1` la fonction définie sur `B` telle que :

`AA(y,x)in(B,I)`, `x=f^-1(y)` `iff` `y=f(x)`

On a alors `(f^-1)^-1=f`.

Définition : Composée

Si `f` est une application de `A` dans `B` et `g` une application de `B` dans `C`, la composée de `f` par `g` est l'application notée `g@f` de `A` dans `C` définie par:

`AAx in A`, `g@f(x)=g(f(x))`.

On a également:`(g@f)^-1=f^-1@g^-1`.

Théorème : La composée d'une application bijective est bijective

La composée d'une application bijective de `A` dans `B` par une application bijective de `B` dans `C` est une application bijective de `A` dans `C`.

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