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Chapitre 3 :
Nombres complexes

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Nombres complexes
Définition : Notation algébrique : partie réelle et partie imaginaire

Un nombre complexe `z` est un nombre tel que `EE(a,b)inRR^2`, `z=ai+b` avec `i^2=-1`.

L'ensemble des nombres complexes est noté `CC`. On a `RRsubCC`.

  • `a` est appelé partie réelle de `z` et noté `Re(z)` .

  • `b` est appelé partie imaginaire de `z` et noté `Im(z)`.

Définition : Conjugué d'un nombre complexe

Soit `zinCC`. On appelle conjugué de `z` le nombre complexe :

`bar(z)=Re(z)-i*Im(z)`

Définition : Notation exponentielle d'un nombre complexe

`AAthetainRR`, `e^(itheta)` est appelé notation exponentielle du nombre complexe `cos(theta)+isin(theta)`.

Définition : Module d'un nombre complexe

Soit `zinCC`. On appelle module de `z` le nombre :

`|z|=sqrt(Re(z)^2+Im(z)^2)`

Définition : Argument d'un nombre complexe

Soient `ZinCC^**`, `O` l'origine dans un repère orthonormé `(0, veci, vecj)` et `M` le point de coordonnées `(Re(z), Im(z))`.

On appelle argument de `z`, noté `Arg(z)` la mesure de l'angle `(vec j, vec(OM))` (modulo `2pi`).

Théorème : Formules d'Euler

`AAthetainRR` :

  • `cos(theta)=(e^(itheta)+e^(-itheta))/2`
  • `sin(theta)=(e^(itheta)-e^(-itheta))/(2i)`
Théorème : Formules de Moivre

`AAthetainRR`, `AAninZZ`,

`(cos(theta)+isin(theta))^n=(e^(itheta))^n=e^(i*n*theta)=cos(ntheta)+isin(ntheta)`

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