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Chapitre 3 :
Calcul matriciel : définitions et calcul matriciel

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Calcul matriciel : définitions et calcul matriciel
I

Définitions

Définition : Matrice

Soit `n` et `p` deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice à `n` lignes et `p` colonnes tout tableau rectangulaire de nombres réels contenant `n` lignes et `p` colonnes.

L'ensemble des matrices à `n` lignes et `p` colonnes se note `M_(n,p)(R)`.

Si `AinM_(n,p)(R)`, le coefficient situé à l'intersection de la `i^(ème)` ligne et de la `j^(ème)` colonne se note `a_(ij)`.

On note : `A=(a_(ij))_(1<=i<=n, 1<=j<=p)`.

Définition : Matrices particulières
  • Une matrice ligne est une matrice ne comportant qu'une seule ligne.

  • Une matrice colonne est une matrice ne comportant qu'une seule colonne.

  • La matrice nulle de `M_(n,p)(R)`, que l'on note `0_(n,p)` est la matrice dont tous les coefficients sont nuls.

  • Une matrice carrée d'ordre `n` est une matrice à `n` lignes et `n` colonnes. L'ensemble des matrices carrées d'ordre `n` se note `M_n(R)`. La matrice nulle de `M_n(R)` se note `0_n`. La diagonale d'une matrice carrée A est l'ensemble des coefficient `(a_(i,i))_(1<=i<=n)`.

  • Une matrice diagonale est une matrice dont tous les coefficients hors diagonale sont nuls.

  • La matrice identité de `M_n(R)` est la matrice dont tous les coefficients hors diagonale sont nuls et tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1.

Définition : Transposée d'une matrice et matrice symétrique

Soit A une matrice. La transposée de A notée `""^tA` est la matrice obtenue en écrivant les lignes de A en colonnes.

Dire que A est symétrique signifie que `""^tA=A`.

II

Opérations matricielles

Théorème : Addition matricielle

Soient `A` et `B` deux matrices de même taille. La somme `A+B` est la matrice de même taille obtenue en ajoutant deux à deux les coefficients de `A` et `B`.

Théorème : Multiplication par un réel

Soient `A` une matrice et `lambda` un nombre réel. Le produit `lambdaA` est une matrice de même taille obtenue en mutipliant les coefficients de `A` par `lambda`.

Définition : Produit matriciel

Soient deux matrices :

  • `AinM_(n,p)(K)`

  • `BinM_(p,m)(K)`

On appelle produit de A par B l'élément AB de `M_(n,m)(K)` défini tel que :

  • `AB = (c_(i,j))_(1<=i<=n, 1<=j<=m)`

  • `AA(i,j) in [1,n]`X`[1,m]`, `i` et `j` entiers , `c_(i,j)=sum_(k=1)^na_(ik)b_(kj)`

Théorème : Règles de calcul avec des matrices transposées

Soient `A,B` deux matrices de `M_(n,p)(RR)` et`lambda` un nombre réel. On a :

  • `""^t(A+B)=""^tA + ""^tB`

  • `""^tlambda*A=lambda*""^tA`

  • `""^t(""^tA)=A`

De plus, si `A in M_(m,n)(RR)` et `B in M_(n,p)(RR)`, alors :

  • `""^t(AB)=""^tA*""^tB`
Définition : Puissance d'une matrice

Soit `A` une matrice de `M_n(RR)` et `k` un entier naturel non nul. On a :

  • `A^k=A*A*...*A` (`k` fois)

  • `A^0=I_n`

Théorème : Règles de calcul avec des puissances de matrices

Soit `A` une matrice de `M_n(RR)` et `k` et `p` deux entiers naturels. On a : `A^k*A^p=A^(k+p)`.

À noter que :

  • Seules les puissances entières positives d'une matrice sont définies.

  • Pour la matrice identité : `AAkinNN`, `I_n^k=I_n`.

Définition : Commutation

Soient `A` et `B` deux matrices de `M_n(R)`. `A` et `B` commutent si `AB=BA`.

Théorème : Commutation et puissances

Soient `A` et `B` deux matrices de `M_n(R)`.. Si `A` et `B` commutent, alors :

`AAkinN`, `(AB)^k=A^k*B^k`.

Par ailleurs, `I_n` commute avec toutes les matrices d'ordre `n`.

Théorème : Binôme de Newton

Soient `A` et `B` deux matrices qui commutent. Alors :

`AAninN`, `(A+B)^n=sum_(k=0)^nC_n^k * A^k*B^(n-k)`.

Définition : Matrices inversibles

Soit `A in M_n(K)`. Dire que `A` est inversible signifie qu'il existe une matrice `B in M_n(K)` telle que `AB=I_n` et `BA=I_n`.

On note alors :

  • `A^(-1)` la matrice inverse de `A`

  • `GL_n(K)` l'ensemble des matrices inversibles de `M_n(K)`

Par ailleurs, pour tout entier naturel non nul `n` :

  • `I_n` est inversible

  • `I_n^(-1)=I_n`

Théorème : Règles de calcul avec des matrices inversibles

Soient `A,B,C` des matrices carrées inversibles de taille `n` :

  • `(A^-1)^-1=A`

  • `(AB)^-1=A^-1*B^-1`

  • `AC=BC` `=>` `A=B`

  • `CA=CB` `=>` `A=B`

  • `AC=B` `=>` `A=BC^-1`

  • `CA=B` `=>` `A=C^-1B`

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