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Chapitre 4 :
Polynômes

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Polynômes
Remarque

`K` désigne ici `RR` ou `CC`.

Définition : Polynôme et degré d'un polynôme

Un polynôme est une fonction numérique définie sur `K` par :

  • `P(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(,-1)+...+a_1x+a_0`

  • Avec `a_0, a_1, ..., a_(n-1) `et `a_n`, des réels appelés coefficients du polynôme

Si `a_n!=0`, `n` est le degré du polynôme :

  • On note `deg(P)=n`

  • `a_n` est le coefficient dominant du polynôme

On note `K[X]` l'ensemble des polynômes et `K_n[X]` l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à `n`.

Définition : Polynôme nul

Si tous les coefficients sont nuls, `P` est appelé polynôme nul. Par convention, on note alors `deg(P)=-oo`.

Théorème : Unicité des coefficients et égalité polynômiale

Deux polynômes sont égaux si et seulement si :

  • Il sont de même degré

  • Leurs coefficients sont égaux deux à deux

Théorème : Opération sur les degrés de polynômes
  • Le degré d'un polynôme constant non nul est 0

  • `deg(P+Q)<=max(deg(P),deg(Q))`

  • `deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)`

  • `deg(P@Q)=deg(P)*deg(Q)`

Théorème : Division euclidienne du polynôme

Soient `(A,B)inK[X]^2` et `B` un polynôme non nul. Alors il existe un unique couple de polynôme Q et R, tel que :

  • `A(X)=B(X)Q(X)+R(X)`

  • `deg(R)<deg(B)`

`Q` est le quotient et `R` est le reste de la division euclidienne de `A` par `B`.

Définition : Racine d'un polynôme

On dit que `ainK` est racine du polynôme `P` si `P(a)=0`.

Définition : Ordre de multiplicité d'une racine

Soient `P in K[X]` et `ainK`. `rinNN` est appelé ordre de multiplicité de la racine `a` si `r` est le plus grand entier naturel tel que :

  • `(X-a)^r` divise `P`

  • `(X-a)^(r+1)` ne divise pas `P`

`a` est appelé racine d'ordre `r` de `P`.

Théorème : Racine et factorisation

Soit `P in K[X]` et `ainK`. Le nombre de `a` est racine de `P` d'ordre `rinNN` si et seulement si `P` se factorise par `(x-a)^r`.

Cela revient à dire qu'il existe un polynôme `Q` tel que :

  • `AAx in RR`, `P(x)=(x-a)^rQ(x)`

  • `deg(Q)=deg(P)-r`

Théorème : Alembert-Gauss

Tout polynôme de `CC[X]` non constant admet au moins une racine complexe.

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