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Chapitre 5 :
Calcul matriciel

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Calcul matriciel
I

Matrices rectangulaires

Définition : Matrice

Soit `n` et `p` deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice à `n` lignes et `p` colonnes tout tableau rectangulaire de nombres réels ou complexes contenant `n` lignes et `p` colonnes

On note alors :

  • `M_(n,p)(K)` l'ensemble des matrices à `n` lignes et `p` colonnes

  • `a_(ij)` le coefficient situé à l'intersection de la `i^(ème)` ligne et de la `j^(ème)` colonne d'une matrice `A`

  • `A=(a_(ij))_(1<=i<=n, 1<=j<=p)` lorsque la matrice A appartient à `M_(n,p)(K)`

Définition : Addition matriciel

Soient `A` et `B` deux matrices de même taille. La somme `A+B` est la matrice de même taille obtenue en ajoutant deux à deux les coefficients de `A` et `B`.

Définition : Multiplication d'une matrice par un réel

Soient `A` une matrice et `lambda` un nombre réel. Le produit `lambdaA` est une matrice de même taille obtenue en multipliant les coefficients de `A` par `lambda`.

Définition : Produit matriciel

Soient deux matrices :

  • `AinM_(n,p)(K)`

  • `BinM_(p,m)(K)`

On appelle produit de A par B l'élément AB de `M_(n,m)(K)` défini tel que :

  • `AB = (c_(i,j))_(1<=i<=n, 1<=j<=m)`

  • `AA(i,j) in [1,n]x [1,m]`, `i,j` entiers, `c_(i,j)=sum_(k=1)^na_(ik)b_(kj)`

Définition : Transposée d'une matrice et matrice symétrique

Soit A une matrice. La transposée de A notée `""^tA` est la matrice obtenue en écrivant les lignes de A en colonnes.

Théorème : Transposée d'un produit

Si `A in M_(m,n)(K)` et `B in M_(n,p)(K)`, alors `""^t(AB)=""^tA*""^tB`

II

Matrices carrées

Définition : Matrice carrée, triangulaire, diagonale et identité

Une matrice carrée d'ordre `n` est une matrice à `n` lignes et `n` colonnes. L'ensemble des matrices carrées d'ordre `n` se note `M_n(K)`. La matrice nulle de `M_n(K)` se note `0_n`.

La diagonale d'une matrice carrée A est l'ensemble des coefficient `(a_(i,i))_(1<=i<=n)`. D'où quatre types de matrices particulières :

  • Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont les coefficients situés sous la diagonale sont nuls.

  • Une matrice triangulaire inférieure est une matrice dont les coefficients situés au-dessus de la diagonale sont nuls.

  • Une matrice diagonale est une matrice dont tous les coefficients hors diagonale sont nuls.

  • La matrice identité de `M_n(K)` est la matrice dont tous les coefficients hors diagonale sont nuls et tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1.

Définition : Matrice symétrique et matrice antisymétrique

Soit `A in M_n(K)`. On dit que A est :

  • Symétrique si `""^tA=A`.
  • Antisymétrique si `""^tA=-A`.
Définition : Matrices inversibles

Soit `A in M_n(K)`. Dire que `A` est inversible signifie qu'il existe une matrice `B in M_n(K)` telle que `AB=I_n` et `BA=I_n`.

On note alors :

  • `A^(-1)` la matrice inverse de `A`

  • `GL_n(K)` l'ensemble des matrices inversibles de `M_n(K)`

Par ailleurs, pour tout entier naturel non nul `n` :

  • `I_n` est inversible

  • `I_n^(-1)=I_n`

Théorème : Règles de calcul avec des matrices inversibles

Soient `A,B,C` des matrices carrées inversibles de taille `n` :

  • `(A^-1)^-1=A`

  • `(AB)^-1=A^-1*B^-1`

  • `AC=BC` `=>` `A=B`

  • `CA=CB` `=>` `A=B`

  • `AC=B` `=>` `A=BC^-1`

  • `CA=B` `=>` `A=C^-1B`

Théorème : Matrices nulles et matrices inversibles

Soient `A,B` deux matrices carrées inversibles de taille `n` :

  • `A!=0_n` et `B!=0_n`

  • `AB=0_n`

Alors `A` et `B` ne sont pas inversibles.

Théorème : Matrices carrés d'ordre 2 et matrices inversibles

Pour un matrice A défini telle que `A=((a,b),(c,d))`, alors :

`A^-1=1/(ad-bc)((d,-b),(-c,a))`

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