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Chapitre 6 :
Système linéaire

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Système linéaire
Définition : Système linéaire

Soient `p` et `n` deux nombres entiers non-nuls. On appelle système d'équations linéaires de `n` équations à `p` inconnues un système de la forme :

`a_(1,1)x_1+a_(1,2)x_2+...+a_(1,p)x_p=b_1` `(L_1)`
`a_(2,1)x_1+a_(2,2)x_2+...+a_(2,p)x_p=b_2` `(L_2)`
...
...
...
`a_(n,1)x_1+a_(n,2)x_2+...+a_(n,p)x_p=b_n` `(L_n)`

`(a_(i,j))_(1<=i<=n, 1<=j<=p)` et `(b_i)_(1<=i<=n)` sont des nombres réels et `x_1, x_2,... x_n` les inconnues.

On note alors `a_(i,j)` est le coefficient de la `j^(ème)` inconnue dans la `i(ème)` équation.

Définition : Système homogène

On dit qu'un système `(S)` est homogène si et seulement si `b_1=b_2=...=b_n=0`.

Dans ce cas, `(0,0,...,0)` est alors solution de `(S)`.

Définition : Opérations élémentaires

Soit `(S)` un système d'équations de `n` équations à `p` inconnues. Les trois opérations élémentaires sont:

  1. L'échange de la `i^(ème)` ligne `L_i` et de `j^(ème)` ligne `L_j`. On note `L_i -> L_j`.

  2. Si `lambda` est un réel non nul, le remplacement de la `i^(ème)` ligne `L_i` par la ligne `lambda*L_i` est une opération élémentaire qui se note `L_i -> lambda*L_i`.

  3. Si `lambda` est un nombre réel quelconque, le remplacement de la `i^(ème)` ligne `L_i` par `L_i+lambda*L_j` est une opération élémentaire qui se note `L_i -> L_i+lambda*L_j`.

Théorème : Transformation par opérations élémentaires et équivalence

Tout système obtenu à partir de `(S)` par transformation d'une de ses équations par une opération élémentaire est équivalent à `(S)`.

Méthode

Pivot de Gauss

La méthode du pivot de Gauss consiste à effectuer des opérations élémentaires sur un système `(S)` afin de trouver un système triangulaire équivalent.

Le système triangulaire équivalent permet de résoudre les équations par des substitutions successives.

Définition : Système de Cramer

Un système est dit système de Cramer s'il possède une unique solution.

Théorème : Lien entre systèmes linéaires et matrices

Soient `(S)` un systèmes de `n` équations à `p` inconnues et trois matrices :

  • `A` de `M_(n,p)(R)`, telle que `A=(a_(i,j))_(1<=i<n,1<=j<=p)`

  • `X` de `M_(1,p)(R)` telle que `X=(x_1, x_2, ..., x_p)`

  • `B` de `M_(1,n)(R)` telle que `B=(b_1, b_2, ..., b_n)`

Alors déterminer la solution `X` de l'équation `AX=B` revient à résoudre le système `(S)` suivant :

`a_(1,1)x_1+a_(1,2)x_2+...+a_(1,p)x_p=b_1`
`a_(2,1)x_1+a_(2,2)x_2+...+a_(2,p)x_p=b_2`
...
...
...
`a_(n,1)x_n+a_(n,2)x_2+...+a_(n,p)x_p=b_n`

`A` est appelée matrice du système `(S)`.

Théorème : Liens entre systèmes linéaires et matrices inversibles

Soient `(S)` un système carré (admettant autant d'équations que de solutions) et `A` la matrice de ce système. Alors:

  • `(S)` est un système de Cramer si et seulement si `A` est inversible

  • On en déduit qu'une matrice carrée est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls.

  • Une matrice diagonale ou triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls.

Théorème : Lien entre matrices et Pivot de Gauss

Il existe un nombre fini d'opérations élémentaires sur les lignes qui transforme une matrice `A` en une matrice triangulaire `B`. On en déduit que `A` est inversible si et seulement si `B` l'est.

Si `A` in `GL_n(R)`, un nombre fini d'opérations élémentaires sur les lignes transforme `A` en `I_n`.

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